1.RSA算法简介

1977年，三位数学家 Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法，可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法.RSA算法的特征如下:

1. RSA算法是非对称加密算法，及算法的加密密钥与解密密钥不同
2. RAS是基于大数分解问题实现的算法，
3. RSA算法的密钥长度一般为1024位到2048位之间，密钥很长，加密较慢
4. RSA算法一般用在数字签名比较多
5. RSA还是分组密码算法，需要对明文进行一组一组加密

2.RSA算法涉及的数学知识

2.1互素

两个正整数，除了1之外没有其他公因子，我们称这两个数是互素的，（就是两个数除一外没有公约数，就是互素），如下是判断两个数是否互素的代码实现：

def prime(a, b):
 if a > b:
 mid = a
 a = b
 b = mid
 mid = b % a
 while mid:
 b = a
 a = mid
 mid = b % a
 if a == 1:
 print('俩数互素')
 else:
 print('俩数不互素')
if __name__ == '__main__':
 prime(8, 3)

2.2 欧拉定理

如果两个正整数a和n互素，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的式子成立

其中a上面的表达式为欧拉函数，欧拉函数的计算方法为，比如计算n的欧拉函数，就是找从1到n-1和n互素元素的个数，其中质数的欧拉函数值为n-1，判断一个数的欧拉函数值方法如下：

def prime(a, b):
 if a > b:
 mid = a
 a = b
 b = mid
 mid = b % a
 while mid:
 b = a
 a = mid
 mid = b % a
 if a == 1:
 return True
 else:
 return False
def oula(n):
 total = 0
 for i in range(1, n):
 if prime(i, n):
 total = total + 1
 return total
if __name__ == '__main__':
 print(oula(8))

2.3求模逆元

求模逆元就是贝祖等式，就是d*e = 1 (mod n),e,和 n知道了，求d

def invmod(e, m):
 """
 求模逆元：知道x * e + y * m = g
 :param e:
 :param m:
 :return:
 """
 g, d, y = exgcd(e, m)
 assert g == 1
 if d < 0:
 d += m
 return d

2.4 取模运算

取模运算就是取余数运算

model = a % b

2.5 最大公因数

求最大公因数一般使用欧几里得算法，欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

• 方法1

def gcd(a, b):
 """
 求最大公约数
 :param a:
 :param b:
 :return:
 """
 if a > b:
 mid = a
 a = b
 b = mid
 y = b % a
 while y:
 b = a
 a = y
 y = b % a
 return b

• 方法二

def gcd(a, b):
 """
 求最大公约数
 :param a:
 :param b:
 :return:
 """
 while b:
 a, b = b, a % b
 return a

2.6 最小公倍数

最小公倍数是再最大公因数的基础上使用的，两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。 与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为（a，b）。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a,b)x[a,b]=ab(a,b均为整数)。

• 方法1

def lcm(a, b):
 """
 求最大公倍数
 :param a:
 :param b:
 :return:
 """
 divisor = gcd(a, b)
 multiple = (a * b) / divisor
 return multiple

• 方法二

def lcm(a, b):
 """
 求最大公倍数
 :param a:
 :param b:
 :return:
 """
 return a // gcd(a, b) * b

2.7 欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。,上面说了

2.8 扩展欧几里得算法

求的a和b的最大公因数，求，x，y使得x * a + y * b= g(a,b)

def exgcd(a, b):
 # a：a和b的最大公因数
 old_s:
 old_t:
 old_s * a + old_t * b = a
 """
 old_s, s = 1, 0
 old_t, t = 0, 1
 while b:
 q = a // b
 s, old_s = old_s - q * s, s
 t, old_t = old_t - q * t, t
 a, b = b, a % b
 return a, old_s, old_t

3.RSA算法数学实现

3.1理论

1. 随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N = pq.
2. 根据欧拉函数，求得φ(N)=φ§φ(q)=(p-1)(q-1)。这是一个公式如果N = pq，那么φ(N)=φ(p)φ(q)，又因为p和q都是素数，φ(p) = p-1，所以φ(N)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1)
3. 选择一个数e，使e大于1，并且e小于φ(N)，找一个数d，使得ed≡1(mod φ(N))，（e,n）为公钥，（d,e）为私钥
4. 加密：m^e ≡ c (mod n)，其中c为密文，解密：c^d ≡ m (mod n)

加解密图解如下：

3.2实践

首先找两个数，及p和q，p和q一般非常大，这里方便计算，取比较小的值，假设：p ＝ 17，q ＝ 19(p,q互素)

1. n = p ＊ q ＝ 323
2. φ(n) = (p-1) * (q-1) = 144
3. 随机取一数e，使1 < e < φ(n)并且gcd(e,φ(n)) =1,e=5合适（还有很多数都合适，这里只取一个数）
4. 取一数d，使得ed≡1(mod φ(n)),取d为29，所以公钥为(e,n)，私钥为（d,n）
5. 加密：假设明文 ＝ 123，则 密文＝（123的5次方）mod 323=225
6. 解密：明文＝（225的29次方）mod 323 =123，所以解密后的明文为123。

4.RSA算法代码实现

4.1RSA算法代码实现1

# 求两个数字的最大公约数（欧几里得算法）
def gcd(a, b):
 if b == 0:
 return a
 else:
 return gcd(b, a % b)
# 获取密钥
def get_key(p, q):
 n = p * q
 fyn = (p - 1) * (q - 1)
 e = 2
 while gcd(e, fyn) != 1:
 e = e + 1
 d = 2
 while (e*d) % fyn != 1:
 d = d + 1
 return (n, e), (n, d)
# 加密
def encryption(x, pubkey):
 n = pubkey[0]
 e = pubkey[1]
 y = x ** e % n # 加密
 return y
# 解密
def decryption(y, prikey):
 n = prikey[0]
 d = prikey[1]
 x = y ** d % n # 解密
 return x
if __name__ == '__main__':
 p = int(input("请给定第一个质数p的值："))
 q = int(input("请给定第二个质数q的值："))
 x = int(input("请给定要加密的消息x的值："))
 # 生成公钥私钥
 pubkey, prikey = get_key(p, q)
 print("加密前的消息是：", x)
 y = encryption(x, pubkey)
 print("加密后的消息是：", y)
 after_x = decryption(y, prikey)
 print("解密后的消息是：", after_x)

以上算法只能够实现整数加密，这个算法就是演示了RSA算法的原理

4.1RSA算法代码实现2

from random import randrange
import math
def prime(n):
 """
 判断一个数是不是素数
 :param n:
 :return: BOOL
 """
 mid = math.sqrt(n)
 mid = math.floor(mid)
 for item in range(2, mid):
 if n % item == 0:
 return False
 return True
def generate_n_bit_odd(n: int):
 """
 生成大数,不确定是不是素数
 :param n:
 :return:大数
 """
 assert n > 1
 return randrange(2 ** (n - 1) + 1, 2 ** n, 2)
first_50_primes = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127,
 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179,
 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233]
def get_lowlevel_prime(n):
 """
 选择满足不能够整除前50个素数的大数，没找到就一直循环
 :param n:
 :return:
 """
 while True:
 c = generate_n_bit_odd(n)
 for divisor in first_50_primes:
 if c % divisor == 0 and divisor ** 2 3
 if n % 2 == 0:
 return False
 # 找出n-1 = 2^s*d
 s, d = 0, n - 1
 while d % 2 == 0:
 d >>= 1
 s += 1
 for _ in range(k):
 a = randrange(2, n - 1)
 x = pow(a, d, n)
 if x == 1 or x == n - 1:
 continue
 for _ in range(s):
 x = pow(x, 2, n)
 if x == n - 1:
 break
 else:
 return False
 return True
def get_random_prime(num_bits):
 """
 获取大素数
 :param num_bits:
 :return:
 """
 while True:
 pp = get_lowlevel_prime(num_bits)
 if miller_rabin_primality_check(pp):
 return pp
def gcd(a, b):
 """
 求最大公约数
 :param a:
 :param b:
 :return:
 """
 while b:
 a, b = b, a % b
 return a
def lcm(a, b):
 """
 求最大公倍数
 :param a:
 :param b:
 :return:
 """
 # divisor = gcd(a, b)
 # multiple = (a * b) / divisor
 # return multiple
 return a // gcd(a, b) * b
def exgcd(a, b):
 """
 扩展欧几里得算法
 :param a:
 :param b:
 :return:
 a：a和b的最大公因数
 old_s:
 old_t:
 old_s * a + old_t * b = a
 """
 old_s, s = 1, 0
 old_t, t = 0, 1
 while b:
 q = a // b
 s, old_s = old_s - q * s, s
 t, old_t = old_t - q * t, t
 a, b = b, a % b
 return a, old_s, old_t
def invmod(e, m):
 """
 求模逆元：知道x * e + y * m = g
 :param e:
 :param m:
 :return:
 """
 g, d, y = exgcd(e, m)
 assert g == 1
 if d < 0:
 d += m
 return d
def uint_from_bytes(xbytes: bytes) -> int:
 """
 比特转换位整数
 :param xbytes:
 :return:
 """
 return int.from_bytes(xbytes, 'big')
def uint_to_bytes(x: int) -> bytes:
 """
 整数转换成比特的时候，一个整数对应32位比特数
 :param x:
 :return:
 """
 if x == 0:
 return bytes(1)
 return x.to_bytes((x.bit_length() + 7) // 8, 'big') #做到尽量不补零
RSA_DEFAULT_EXPONENT = 65537
RSA_DEFAULT_MODULUS_LEN = 2048
class RSA:
 """
 RSA算法(self.n, self.e)加密密钥
 (self.n, self.d)解密密钥
 """
 def __init__(self, key_length=RSA_DEFAULT_MODULUS_LEN,
 exponent=RSA_DEFAULT_EXPONENT):
 self.e = exponent
 t = 0
 p = q = 2
 # 找出一个e使1

如下是结果运行图：